대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

교점과 부분분수 합

문제

자연수 nn에 대하여 두 함수 f(x)=x2−(n+1)x+n2f ( x ) = x ^{2} - \left( n + 1 \right) x + n ^{2}, g(x)=n(x−1)g ( x ) = n \left( x - 1 \right)의 그래프의 두 교점의 xx좌표를 ana _{n}, bnb _{n}이라 할 때, ∑n=119100anbn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{19} \frac{100}{a _{n} b _{n}}의 값은? [3점] ①8080②8585③9090④9595⑤100100

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 x2−(n+1)x+n2=nx−nx ^{2} - \left( n + 1 \right) x + n ^{2} = nx - n x2−(2n+1)x+n(n+1)=0x ^{2} - \left( 2 n + 1 \right) x + n \left( n + 1 \right) = 0 x=n,n+1x = n , n + 1 anbn=n(n+1)a _{n} b _{n} = n ( n + 1 ) ∑n=119100n(n+1)=100∑n=119(1n−1n+1)=100(1−120)=95\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{19} \frac{100}{n \left( n + 1 \right)} & = 100 \sum\limits _{n = 1} ^{19} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \\ & = 100 \left( 1 - \frac{1}{20} \right) \\ & = 95 \end{aligned}

태그

#부분분수#수열의 합

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