교점으로 만든 급수

[출제의도] 급수를 이용하여 추론하기 직선 $y$$= x + 1$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이므로 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$을 대각선으로 하는 정사각형의 한 변은 $x$축 또는 $y$축과 평행하다. 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표를 $\alpha _{n}$, 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표를 $\beta _{n}$이라 하면 정사각형의 한 변의 길이는 $\left| \alpha _{n} - \beta _{n} \right|$이므로 $a _{n}$$= \left( \alpha _{n} - \beta _{n} \right) ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\alpha _{n}$, $\beta _{n}$은 이차방정식 $x ^{2} - 2 nx - 2 x$$=$$x + 1$ $x ^{2} - \left( 2 n + 1 \right) x - \left( 2 n + 1 \right)$$= 0$ 의 두 실근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha _{n} + \beta _{n}$$= 2 n + 1$, $\alpha _{n} \beta _{n}$$= \mathit{-} 2 n - 1$ ㉠에서 $a _{n}$$= \left( \alpha _{n} - \beta _{n} \right) ^{2}$ $= \left( \alpha _{n} + \beta _{n} \right) ^{2} - 4 \alpha _{n} \beta _{n}$ $= \left( 2 n + 1 \right) ^{2} - 4 \left( - 2 n - 1 \right)$ $= 4 n ^{2} + 12 n + 5$ $= \left( 2 n + 1 \right) \left( 2 n + 5 \right)$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{\left( 2 k + 1 \right) \left( 2 k + 5 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 5} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{4} \left\{ \begin{array}{l} \begin{aligned} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \cdots \\ + \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 3} \right) + \left( \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 5} \right) \end{aligned} \end{array} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2 n + 3} - \frac{1}{2 n + 5} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \times \frac{8}{15}$$\displaystyle = \frac{2}{15}$