교점을 지나는 원 중 넓이가 최소인 원

두 원의 방정식을 변끼리 빼면 $8 x + 8 y - 32 = 0$, 즉 $x + y = 4$ $y = 4 - x$를 $x ^{2} + y ^{2} = 16$에 대입하면 $x ^{2} + \left( 4 - x \right) ^{2} = 16$, $2 x ^{2} - 8 x = 0$ $x = 0$ 또는 $x = 4$이므로 두 교점은 $\left( 0 , 4 \right)$, $\left( 4 , 0 \right)$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 원의 중심은 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위에 있고, 반지름의 길이는 중심에서 점 $\mathrm{A}$까지의 거리이므로 중심이 선분 $\mathrm{AB}$의 중점일 때 반지름이 가장 짧다. 즉 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원이 넓이가 최소이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{4 ^{2} + 4 ^{2}} = 4 \sqrt{2}$이므로 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ 따라서 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} = 8 \pi$ ②