공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

교점을 지나고 중심이 직선 위에 있는 원

문제

두 원 x2+y2−4x−2y−6=0x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 2 y - 6 = 0, x2+y2+2x−6y+5=0x ^{2} + y ^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0의 두 교점을 지나는 원 중에서 중심이 직선 x+y=1x + y = 1 위에 있는 원의 반지름의 길이는? [3점] ①33②11\displaystyle \sqrt{11}③44④55⑤26\displaystyle \sqrt{26}

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④

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해설

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 (x2+y2−4x−2y−6)+k(x2+y2+2x−6y+5)=0\left( x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 2 y - 6 \right) + k \left( x ^{2} + y ^{2} + 2 x - 6 y + 5 \right) = 0 (단, k≠−1k \ne - 1) 정리하면 (1+k)x2+(1+k)y2+(−4+2k)x+(−2−6k)y−6+5k=0\left( 1 + k \right) x ^{2} + \left( 1 + k \right) y ^{2} + \left( - 4 + 2 k \right) x + \left( - 2 - 6 k \right) y - 6 + 5 k = 0 이 원의 중심의 좌표는 (2−k1+k,1+3k1+k)\displaystyle \left( \frac{2 - k}{1 + k} , \frac{1 + 3 k}{1 + k} \right) 중심이 직선 x+y=1x + y = 1 위에 있으므로 2−k1+k+1+3k1+k=1\displaystyle \frac{2 - k}{1 + k} + \frac{1 + 3 k}{1 + k} = 1 3+2k=1+k3 + 2 k = 1 + k에서 k=−2k = - 2 k=−2k = - 2를 대입하여 정리하면 −x2−y2−8x+10y−16=0- x ^{2} - y ^{2} - 8 x + 10 y - 16 = 0 x2+y2+8x−10y+16=0x ^{2} + y ^{2} + 8 x - 10 y + 16 = 0 (x+4)2+(y−5)2=25\left( x + 4 \right) ^{2} + \left( y - 5 \right) ^{2} = 25 따라서 반지름의 길이는 55 ④

태그

#두 원의 교점을 지나는 원#중심의 조건#원의 방정식

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