교점을 지나고 절편이 자연수인 직선의 개수

실마리: 교점을 구한 뒤 구하는 직선을 절편으로 나타내면 정수 조건이 약수 조건으로 바뀐다. 두 직선의 교점 $\mathrm{P}$의 좌표는 두 식을 변끼리 더하여 $3 x - 3 = 0$이므로 $x = 1$ $y = 7 - 1 = 6$이므로 $\mathrm{P} ( 1 , 6 )$ 구하는 직선의 $x$절편을 $a$, $y$절편을 $b$ ($a$, $b$는 자연수)라 하면 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 이 직선이 점 $\mathrm{P} ( 1 , 6 )$을 지나므로 $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{6}{b} = 1$ 양변에 $ab$를 곱하면 $b + 6 a = ab$ $b ( a - 1 ) = 6 a$ $a = 1$이면 $0 = 6$이 되어 모순이므로 $a \geq 2$이고 $\displaystyle b = \frac{6 a}{a - 1} = \frac{6 ( a - 1 ) + 6}{a - 1} = 6 + \frac{6}{a - 1}$ $b$가 자연수이려면 $a - 1$이 $6$의 약수이어야 하므로 $a - 1 = 1 , 2 , 3 , 6$, 즉 $a = 2 , 3 , 4 , 7$ 이때 $b = 12 , 9 , 8 , 7$로 모두 자연수이다. 따라서 구하는 직선은 $4$개이다. (검산: 네 직선 $6 x + y = 12$, $3 x + y = 9$, $2 x + y = 8$, $x + y = 7$은 모두 점 $( 1 , 6 )$을 지난다.)