교점 x좌표의 미분

직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \tan \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$이므로 직선 $l$의 방정식은 $y = \left( \tan \theta \right) x + 1$ 직선 $y = \left( \tan \theta \right) x + 1$이 곡선 $\displaystyle y = e ^{\frac{x}{a}} - 1$과 만나는 점의 $x$좌표가 $f \left( \theta \right)$이므로 $\displaystyle \tan \theta \times f \left( \theta \right) + 1 = e ^{\frac{f \left( \theta \right)}{a}} - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$일 때, $a + 1 = e - 1$, $a = e - 2$ ㉠의 양변을 $\theta$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \sec ^{2} \theta \times f \left( \theta \right) + \tan \theta \times f' \left( \theta \right) = \frac{f' \left( \theta \right)}{a} e ^{\frac{f \left( \theta \right)}{a}}$에서 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$일 때, $\displaystyle 2 \left( e - 2 \right) + f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{f' \left( \frac{\pi}{4} \right)}{e - 2} \times e$ $\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( e - 2 \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle \sqrt{f' \left( \frac{\pi}{4} \right)} = e - 2$ 따라서 $p = 1$, $q = - 2$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 5$