교점 x좌표 역함수 미분

$g ( x ) = \ln ( 2 x ^{2} + 2 x + 1 )$ $( x > 0 )$라 두자 $g ( x )$를 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle g' ( x ) = \frac{4 x + 2}{2 x ^{2} + 2 x + 1}$ $g ( x )$와 $y = t$가 만나는 $x$좌표를 $f ( t )$이면 $g ( f ( t ) ) = t$이다. $g ( f ( 2 \ln 5 ) ) = 2 \ln 5 = \ln 25$ $f ( 2 \ln 5 ) = k$라 치환하면 $g ( k ) = \ln 25$ $\ln ( 2 k ^{2} + 2 k + 1 ) = \ln 5$, $2 k ^{2} + 2 k + 1 = 5$ $k ^{2} + k - 12 = 0$ $( k > 0 )$ $\therefore$ $k = 3$ $g ( f ( t ) ) = t$를 $t$에 대해 미분하면 $g' ( f ( t ) ) \cdot f' ( t ) = 1$ $\therefore$ $f' ( 2 \ln 5 )$$\displaystyle = \frac{1}{g' ( f ( 2 \ln 5 ) )}$ $\displaystyle = \frac{1}{g' ( 3 )}$ $\displaystyle = \frac{18 + 6 + 1}{14}$ $\displaystyle = \frac{25}{14}$