공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

교점 사이 거리 최소

문제

이차함수 f(x)=x2−2ax(af ( x ) = x ^{2} - 2 a x ( a는 실수))의 그래프와 직선 y=2x+1y = 2 x + 1이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점 사이의 거리의 최솟값은? [3점] ①25\displaystyle 2 \sqrt{5}②22\displaystyle \sqrt{2 2}③26\displaystyle 2 \sqrt{6}④26\displaystyle \sqrt{2 6}⑤27\displaystyle 2 \sqrt{7}

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①

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해설

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 두 교점 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차함수 f(x)=x2−2axf ( x ) = x ^{2} - 2 a x 의 그래프와 직선y=2x+1y = 2 x + 1 의 서로 다른 두 교점의 좌표를 P(α,2α+1){\mathrm{P}} \mathit{(} \alpha , 2 \alpha + 1 ), Q(β,2β+1){\mathrm{Q}} \mathit{(} \beta , 2 \beta + 1 ) 이라 하면, α,β\alpha , \beta 는 이차방정식 x2−2(a+1)x−1=0x ^{2} - 2 ( a + 1 ) x - 1 = 0 의 서로 다른 두 실근이다. α+β=2(a+1)\alpha + \beta = 2 ( a + 1 ), αβ=−1\alpha \beta = - 1이므로 PQ‾=(β−α)2+(2β+1−2α−1)2=5(β−α)2\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{Q}}}} = \sqrt{( \beta - \alpha ) ^{2} + ( 2 \beta + 1 - 2 \alpha - 1 ) ^{2}} = \sqrt{5 ( \beta - \alpha ) ^{2}} =20(a+1)2+20≥20\displaystyle = \sqrt{2 0 ( a + 1 ) ^{2} + 2 0} \geq \sqrt{2 0} ∴a=−1\therefore a = - 1 일 때, 최솟값은 25\displaystyle 2 \sqrt{5}

태그

#이차함수와 직선#근과 계수의 관계

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