교점 R의 극한 위치

좌표평면에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ $\left( r > 0 \right)$과 포물선 $y ^{2} = x$의 교점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 두 점 $\mathrm{P}$, ${\mathrm{Q}} ( 0 , r )$를 지나는 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하자. 다음은 $r$의 값이 $0$에 한없이 가까워질 때, 점 $\mathrm{R}$가 한없이 가까워지는 점의 좌표를 구하는 과정이다.

선분 $\mathrm{O} P$와 $x$축이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 점 $\mathrm{P}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 점이므로

$\mathrm{P} \mathit{(} r \cos \theta , r \sin \theta )$로 놓을 수 있다. 이때, 점 $\mathrm{P}$는 포물선 $y ^{2} = x$ 위의 점이므로 $r =$ (가) 이다. … ㉠ 두 점 ${\mathrm{P}} ( r \cos \theta , r \sin \theta )$, ${\mathrm{Q}} ( 0 , r )$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\sin \theta - 1}{\cos \theta} x + r$ 이므로 점 $\mathrm{R}$의 좌표를 ${\mathrm{R}} ( a , 0 )$으로 놓으면 $\displaystyle a = \frac{r \cos \theta}{1 - \sin \theta}$이다. … ㉡ $r \rightarrow 0$일 때, $\theta \rightarrow$$\displaystyle \frac{\pi}{2}$이므로 ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \lim\limits _{r \rightarrow 0} {a} = \lim\limits _{\theta \rightarrow {\frac{\pi}{2}}} \frac{r \cos \theta}{1 - \sin \theta}$$=$(나) 이다. 따라서 $r$의 값이 $0$에 한없이 가까워질 때, 점 $\mathrm{R}$는 점 ((나) , 0)에 한없이 가까워진다.

위 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) ①$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $1$②$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $2$③$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin ^{2} \theta}$ $1$④$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin ^{2} \theta}$ $2$⑤$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin ^{2} \theta}$ $4$