미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

교점 거리 무한급수

문제

좌표평면에서 이차함수 y=27nx2−(9n+2⋅3n)x+2y = 27 ^{n} x ^{2} - \left( 9 ^{n} + 2 \cdot 3 ^{n} \right) x + 2 의 그래프가 xx축과 만나는 두 점 사이의 거리를 lnl _{n}이라 할 때, ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} l _{n}은? (단, nn은 자연수이다.) [4점] ①19\displaystyle \frac{1}{9}②18\displaystyle \frac{1}{8}③16\displaystyle \frac{1}{6}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤13\displaystyle \frac{1}{3}

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④

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합 구하기 27nx2−(9n+2⋅3n)x+2=027 ^{n} x ^{2} - ( 9 ^{n} + 2 \cdot 3 ^{n} ) x + 2 = 0 (3nx−1)(9nx−2)=0\left( 3 ^{n} x - 1 \right) \left( 9 ^{n} x - 2 \right) = 0 ∴x=13n,29n\displaystyle x = \frac{1}{3 ^{n}} , \frac{2}{9 ^{n}} ln=13n−29n\displaystyle l _{n} = \frac{1}{3 ^{n}} - \frac{2}{9 ^{n}}이므로 ∑n=1∞ln=∑n=1∞(13n−29n)=∑n=1∞13n−∑n=1∞29n\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} l _{n} & = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3 ^{n}} - \frac{2}{9 ^{n}} \right) = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{3 ^{n}} - \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{2}{9 ^{n}} \\ & \end{aligned} =131−13−291−19=14\displaystyle = \frac{\frac{1}{3}}{1 - {\frac{1}{3}}} - \frac{\frac{2}{9}}{1 - {\frac{1}{9}}} = \frac{1}{4}

태그

#등비급수#이차함수

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