교점 거리 제곱 합

곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = g ( x )$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 $\alpha _{n}$, $\beta _{n}$($\alpha _{n} < \beta _{n}$)이라 하면 직선 $y = g ( x )$의 기울기가 $1$이므로 두 점사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{2} ( \beta _{n} - \alpha _{n} )$이다. $\alpha _{n}$, $\beta _{n}$은 방정식 $f ( x ) = g ( x )$, 즉 $x ^{2} - 7 x + 7 - n = 0$의 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의하여 $\alpha _{n} + \beta _{n} = 7$, $\alpha _{n} \beta _{n} = 7 - n$이다. ∴ $a _{n} ^{2}$$\displaystyle = \left\{ \sqrt{2} ( \beta _{n} - \alpha _{n} ) \right\} ^{2}$ $= 2 \left\{ ( \alpha _{n} + \beta _{n} ) ^{2} - 4 \alpha _{n} \beta _{n} \right\}$ $= 2 \left\{ 7 ^{2} - 4 ( 7 - n ) \right\}$ $= 8 n + 42$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} a _{n} ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{10} ( 8 n + 42 )$ $\displaystyle = 8 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} + 10 \cdot 42$ $= 860$