교점 개수 함수의 극한

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 함수의 극한 문제 해결하기 (ⅰ) $k = 1$일 때 방정식 $\left| g \left( x \right) \right| = b$의 서로 다른 실근의 개수는 $2 , 4 , 6$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

$y = \left| g \left( x \right) \right|$

(ⅱ) $k > 1$일 때 방정식 $\left| g \left( x \right) \right| = b$의 서로 다른 실근의 개수는 직선 $y = b$가 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right| ( x < b )$의 그래프에 접할 때 $5$이다.

$y = \left| g \left( x \right) \right|$

$\displaystyle \left| g \left( \frac{b}{2} \right) \right| = b$이므로 $\displaystyle - f \left( \frac{b}{2} \right) = b$에서 $ab = 4$이다. $a$, $b$는 자연수이므로 가능한 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 4 ) , ( 2 , 2 ) , ( 4 , 1 )$이고 $b \leq 4$이다. 조건 (가)에서 $g \left( 6 \right) = kf \left( 6 - b \right) = ka ( 6 - b ) ( 6 - 2 b ) = - 8$ $ka ( 6 - b ) ( 3 - b ) = - 4 \cdots \cdots \text{㉠}$ $3 - b < 0$이므로 만족시키는 자연수 $b$는 $4$이다. 그러므로 $a = 1$이고 $\text{㉠}$에서 $k = 2$이다. 따라서 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x ( x - 4 ) _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} & ( x < 4 ) _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} \\ 2 ( x - 4 ) ( x - 8 ) & ( x \geq 4 ) \end{cases}}$ 이다. (ⅲ) $k < 1$일 때 방정식 $\left| g \left( x \right) \right| = b$의 서로 다른 실근의 개수는 직선 $y = b$가 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$$( x \geq b )$의 그래프에 접할 때 $5$이다.

$y = \left| g \left( x \right) \right|$

$\displaystyle \left| g \left( \frac{3}{2} b \right) \right| = b$이므로 $\displaystyle - kf \left( \frac{3 b}{2} - b \right) = b$, $kab = 4$ 이다. 조건 (가)에서 ① $b > 6$일 때 $g \left( 6 \right) = f \left( 6 \right) = 6 a ( 6 - b ) = - 8$, $3 a ( b - 6 ) = 4$ 이다. 이 식의 좌변은 $3$의 배수이지만 우변은 $3$의 배수가 아니다. 따라서 만족하는 두 자연수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. ② $b \leq 6$일 때 $g \left( 6 \right) = kf \left( 6 - b \right) = ka ( 6 - b ) ( 6 - 2 b ) = - 8$, $ka ( 6 - b ) ( 3 - b ) = - 4 \cdots \cdots \text{㉡}$ 이다. 이 식의 좌변에서 $k > 0$, $a > 0$, $6 - b \geq 0$ 이므로 $3 - b < 0$이어야 한다. 가능한 자연수 $b$는 $4$ 또는 $5$이다. $b = 4$, $5$를 $\text{㉡}$에 각각 대입하면 $ka = 2$이다. 그런데 $kab = 4$이므로 $b = 2$이다. 이는 모순이다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 두 자연수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. (ⅰ)∼(ⅲ)으로부터 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x ( x - 4 ) _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} & ( x < 4 ) _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} \\ 2 ( x - 4 ) ( x - 8 ) & ( x \geq 4 ) \end{cases}}$ 이다.

$y = \left| g \left( x \right) \right|$ $m = - 6$ $\displaystyle m = 24 - 6 \sqrt{14}$ $\displaystyle m = \frac{1}{4}$ $\displaystyle m = \frac{1}{8}$

직선 $y = mx - 1$이 $( 4 , 0 )$을 지날 때 $m$의 값을 $m _{1}$이라고 하자. $m _{1}$은 직선 $y = mx - 1$이 점 $( 4 , 0 )$을 지날 때의 기울기이므로 $\displaystyle m _{1} = \frac{1}{4}$이다. 이차함수 $y = - 2 ( x - 4 ) ( x - 8 )$의 그래프에 접할 때 $m$의 값을 $m _{2}$라 하자. $m _{2}$는 직선 $y = mx - 1$이 함수 $y = - 2 ( x - 4 ) ( x - 8 )$의 그래프에 접할 때이므로 이차방정식 $- 2 ( x - 4 ) ( x - 8 ) = mx - 1$의 판별식$\left( D = 0 \right)$을 이용하여 구하면 $\displaystyle m _{2} = 24 - 6 \sqrt{14}$이다.

$\displaystyle 24 - 6 \sqrt{14}$ $\displaystyle \frac{1}{8}$ $\displaystyle \frac{1}{4}$ $y = h \left( m \right)$

위 그림에서$\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow t -} {h \left( m \right)} + \lim\limits _{m \rightarrow t +} {h \left( m \right)} = 6$을 만족시키는 모든 실수 $t$의 값은 $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle 24 - 6 \sqrt{14}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} + \left( 24 - 6 \sqrt{14} \right) = \frac{97}{4} - 6 \sqrt{14}$에서 0 $\displaystyle p = \frac{97}{4}$, $q = - 6$이다. 따라서 $\displaystyle 12 ( p + q ) = 12 \left( \frac{97}{4} - 6 \right) = 219$이다.