교점 개수 함수의 불연속

[출제의도] 함수의 연속 문제 해결하기 원의 중심$\left( 1 , 2 \right)$와 직선 $x - y = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 1 - 2 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 이고 원의 중심$\left( 1 , 2 \right)$와 직선 $x + y = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 1 + 2 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 이다. 원의 중심$\left( 1 , 2 \right)$와 원점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{5}$이다. ⅰ) $\displaystyle 0 < r < \frac{\sqrt{2}}{2}$일 때, $f \left( r \right) = 0$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅱ) $\displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{2}$일 때, $f \left( r \right) = 1$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅲ) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} < r < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$일 때, $f \left( r \right) = 2$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅳ) $\displaystyle r = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$일 때, $f \left( r \right) = 3$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅴ) $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2} < r < \sqrt{5}$일 때, $f \left( r \right) = 4$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅵ) $\displaystyle r = \sqrt{5}$일 때, $f \left( r \right) = 3$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅶ) $\displaystyle r > \sqrt{5}$일 때, $f \left( r \right) = 2$(그림 참고)

$y = \left| x \right|$

ⅰ)~ⅶ)에 의해 함수 $f \left( r \right)$의 그래프는

$f \left( r \right)$ $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \sqrt{5}$

이다. 따라서 함수 $f \left( r \right)$가 $\displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{3 \sqrt{2}}{2} , \sqrt{5}$에서 불연속이므로 불연속인 점의 개수는 $3$이다.