교점 개수 함수 불연속

[출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기 직선 $y = m ( x + 5 )$는 기울기가 $m$ $( m > 0 )$이고 점 $( - 5 , 0 )$을 지나는 직선이다. 함수 $y = 2 \left| x \right|$의 그래프와 곡선 $x ^{2} + y ^{2} = 5$ $( y \geq 0 )$은 두 점 $( - 1 , 2 )$, $( 1 , 2 )$에서 만난다. 직선 $y = m ( x + 5 )$가 점 $( 1 , 2 )$를 지날 때 $\displaystyle m = \frac{1}{3}$ 직선 $y = m ( x + 5 )$가 점 $( - 1 , 2 )$를 지날 때 $\displaystyle m = \frac{1}{2}$ 이때 두 점 $( 0 , 0 )$, $( - 1 , 2 )$를 지나는 직선의 기울기가 $- 2$이므로 곡선 $x ^{2} + y ^{2} = 5$ $( y \geq 0 )$ 위의 점 $( - 1 , 2 )$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 그러므로 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} ( x + 5 )$는 곡선 $x ^{2} + y ^{2} = 5$ $( y \geq 0 )$ 위의 점 $( - 1 , 2 )$에서의 접선이다.

(ⅰ) $\displaystyle 0 < m < \frac{1}{3}$일 때, $f ( m ) = 4$ (ⅱ) $\displaystyle m = \frac{1}{3}$일 때, $f ( m ) = 3$ (ⅲ) $\displaystyle \frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$일 때, $f ( m ) = 4$ (ⅳ) $\displaystyle \frac{1}{2} \leq m < 2$일 때, $f ( m ) = 2$ (ⅴ) $m \geq 2$일 때, $f ( m ) = 1$ (ⅰ)$\sim$(ⅴ)에 의하여

따라서 열린구간 $\left( 0 , \infty \right)$에서 함수 $f ( m )$은 $\displaystyle m = \frac{1}{3}$, $\displaystyle m = \frac{1}{2}$, $m = 2$에서만 불연속이므로 $\displaystyle \alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{17}{6}$