확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

교점 개수 기댓값

문제

함수 $y = f ( x )$ 의 그래프가 그림과 같다.

한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수를 $a$ 라 할 때, 곡선 $y = f ( x )$ 와 직선 $y = a$ 의 교점의 개수를 확률변수 $X$ 라 하자. $\displaystyle E ( X ) = \frac{q}{p}$ 라 할 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 평균 구하는 문제를 해결한다.

확률변수 $X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$X$	$2$	$4$	$6$	계
$\mathrm{P} ( \mathit{X} = x )$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$1$

$\mathrm{E} ( \mathit{X} )$ $\displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ $\displaystyle = \frac{11}{3}$ 따라서 $p = 3$ , $q = 11$ 이므로 $p + q$ $= 14$ 이다.

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