교점 개수 불연속

[출제의도] 함수의 극한 추론하기 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $x = 0$에서 불연속이고 그 개형은 그림과 같다.

$y = f ( x )$

함수 $h \left( t \right)$에 대하여 (ⅰ) $- 2 < t < 2$일 때 $k$값에 관계없이 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $2$이므로 $h \left( t \right) = 2$ (ⅱ) $t \geq 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {f' \left( x \right)} = 3 k$이고, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 기울기가 $2$이므로 (a) $3 k < 2$이면 $f' \left( x _{0} \right) = 2$인 $x = x _{0}$($x _{0} < 0$)가 존재한다.

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

즉, $x = x _{0}$에서 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 접할 때 $t = t _{0}$이라 하면, $t = 2$에서 $h \left( t \right) = 2$ $2 < t < t _{0}$에서 $h \left( t \right) = 3$ $t = t _{0}$에서 $h \left( t \right) = 2$ $t > t _{0}$에서 $h \left( t \right) = 1$ (b) $3 k \geq 2$이면 $t \geq 2$에서 $h \left( t \right) = 1$ (ⅲ) $t \leq - 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {f' \left( x \right)} = \frac{4}{3 k}$이고, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 기울기가 $2$이므로 (a) $\displaystyle \frac{4}{3 k} < 2$이면 $f' \left( x _{1} \right) = 2$인 $x = x _{1}$($x _{1} > 0$)가 존재한다. 즉, $x = x _{1}$에서 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 접할 때 $t = t _{1}$이라 하면, $t _{1} < t \leq - 2$ 에서 $h \left( t \right) = 3$ $t = t _{1}$에서 $h \left( t \right) = 2$ $t < t _{1}$에서 $h \left( t \right) = 1$ (b) $\displaystyle \frac{4}{3 k} \geq 2$이면 $t = \mathit{-} 2$에서 $h \left( t \right) = 2$ $t < \mathit{-} 2$에서 $h \left( t \right) = 1$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\displaystyle k < \frac{2}{3}$일 때 $\displaystyle h \left( t \right) = {\begin{cases} 1 & \left( t < \mathit{-} 2 \right) \\ 2 & \left( - 2 \leq t \leq 2 \right) \\ 3 & \left( 2 < t < t _{0} \right) \\ 2 & \left( t = t _{0} \right) \\ 1 & \left( t > t _{0} \right) \end{cases}}$ $\displaystyle k > \frac{2}{3}$일 때 $\displaystyle h \left( t \right) = {\begin{cases} 1 & \left( t < t _{1} \right) \\ 2 & \left( t = t _{1} \right) \\ 3 & \left( t _{1} < t \leq \mathit{-} 2 \right) \\ 2 & \left( - 2 < t < 2 \right) \\ 1 & \left( t \geq 2 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle k = \frac{2}{3}$일 때 $\displaystyle h \left( t \right) = {\begin{cases} 1 & \left( t < \mathit{-} 2 \right) \\ 2 & \left( - 2 \leq t < 2 \right) \\ 1 & \left( t \geq 2 \right) \end{cases}}$ 그러므로 함수 $h \left( t \right)$가 $t = \alpha$에서 불연속이 되는 실수 $\alpha$의 개수가 $2$가 되도록 하는 $\displaystyle k = \frac{2}{3}$ 따라서 $150 k = 100$