계수가 근인 이차방정식

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다. $x ^{2} + ax + b = 0$의 두 근이 $a$, $b$이므로 $a + b = - a$, $ab = b$ 두 식을 연립하여 풀면 $a = 1$, $b = - 2$ ∴ $a ^{2} + b ^{2} = 5$ [오답풀이] $x = a$를 대입하면 $2 a ^{2} + b = 0$ ∴ $b = - 2 a ^{2}$ … ㉠ $x = b$를 대입하면 $b ^{2} + ab + b = 0$ … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 $a = 1$, $b = - 2$ 또는 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle b = - \frac{1}{2}$ 그런데 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle b = - \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle x ^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = 0$의 두 근은 $\displaystyle x = - \frac{1}{2}$과 $x = 1$이므로 $a , b$는 $x ^{2} + ax + b = 0$의 두 근이 아니다.