계수 바꾼 이차부등식

[출제의도] 이차부등식의 해를 구하여 주어진 조건을 만족하는 미지수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차부등식 $ax ^{2} + bx + c < 0$의 해가 $\displaystyle \frac{1}{8} < x < \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle ax ^{2} + bx + c = a \left( x - \frac{1}{8} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right) = a \left( x ^{2} - \frac{5}{8} x + \frac{1}{16} \right)$(단, $a > 0$) $\displaystyle = ax ^{2} - \frac{5}{8} ax + \frac{1}{16} a$ ∴ $\displaystyle b = - \frac{5}{8} a$, $\displaystyle c = \frac{1}{16} a$ $cx ^{2} + bx + a \leq 0$ ⇔ $\displaystyle \frac{1}{16} ax ^{2} - \frac{5}{8} ax + a \leq 0$ ⇔ $a ( x - 2 ) ( x - 8 ) \leq 0$ ⇔ $2 \leq x \leq 8$ 따라서 정수 $x$의 개수는 $2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8$의 $7$개다.