계승 합 부등식 귀납법

다음은 $4$이상의 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + \cdots + n !}{n !}$$\displaystyle < 1 + \frac{2 n - 3}{n ( n - 1 )}$이 성립함을 증명하는 과정이다. (단, $n ! = n \times ( n - 1 ) \times ( n - 2 ) \times \cdots \times 2 \times 1$) <증명> $\displaystyle a _{n} = \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + \cdots + n !}{n !}$이라 하자. (ⅰ) $n = 4$일 때, (좌변) = $\displaystyle \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 !}{4 !} = \frac{33}{24}$, (우변) = $\displaystyle 1 + \frac{5}{12} = \frac{17}{12}$이므로 주어진 부등식이 성립한다. (ⅱ) $n = k$($k \geq 4$)일 때, 성립한다고 가정하면 $\displaystyle a _{k} < 1 + \frac{2 k - 3}{k ( k - 1 )}$이다. $n = k + 1$일 때, $\displaystyle a _{k + 1} = \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + \cdots + ( k + 1 ) !}{( k + 1 ) !} = 1 + \square {( \text{가} )} a _{k}$ 한편, $( k - 1 ) ^{2} \square {( \text{나} )} 2 k - 3$ 이므로 $\displaystyle \frac{2 k - 3}{k ( k - 1 )} < \frac{k - 1}{k}$ 이다. 그런데, $\displaystyle 1 + \frac{2 k - 3}{k ( k - 1 )} < \frac{\square {( \text{다} )}}{k}$이므로 $a _{k + 1}$$\displaystyle < 1 + \square {( \text{가} )} \left\{ 1 + \frac{2 k - 3}{k ( k - 1 )} \right\}$ $\displaystyle < 1 + \square {( \text{가} )} \frac{\square {( \text{다} )}}{k}$ $\displaystyle = 1 + \frac{2 ( k + 1 ) - 3}{( k + 1 ) \left\{ ( k + 1 ) - 1 \right\}}$이다. 그러므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $4$이상의 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]