계승 부등식 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + \cdots + n !}{( n + 1 ) !} < \frac{2}{n + 1}$ 가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + \cdots + n !}{( n + 1 ) !}$ 이라 할 때, $\displaystyle a _{n} < \frac{2}{n + 1}$임을 보이면 된다. (1) $n = 1$일 때, $\displaystyle a _{1} = \frac{1 !}{2 !} = \frac{1}{2} < 1$이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) $n = k$일 때, $\displaystyle a _{k} < \frac{2}{k + 1}$라고 가정하면 $n = k + 1$일 때, $\displaystyle a _{k+1} = \frac{1 ! + 2 ! + 3 ! + \cdots + ( k + 1 ) !}{( k + 2 ) !}$ $=$ (가) $\left( 1 + a _{k} ) \right.$ $<$ (가) $\displaystyle \left( 1 + \frac{2}{k + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{k + 2} +$ (나)

이다. 자연수 $k$에 대하여 $\displaystyle \frac{2}{k + 1} \leq 1$이므로 (나) $\displaystyle \leq \frac{1}{k + 2}$이고 $\displaystyle a _{k+1} < \frac{2}{k + 2}$이다. 따라서 $n = k + 1$일 때도 주어진 부등식은 성립한다. 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①$\displaystyle \frac{1}{k + 2}$ $\displaystyle \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$②$\displaystyle \frac{1}{k + 2}$ $\displaystyle \frac{2}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$③$\displaystyle \frac{1}{k + 1}$ $\displaystyle \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$④$\displaystyle \frac{1}{k + 1}$ $\displaystyle \frac{2}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$⑤$\displaystyle \frac{1}{k + 1}$ $\displaystyle \frac{2}{( k + 1 ) ^{2}}$