미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

겹치는 넓이 최대

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 O(0,0),A(8,0),B(8,8),C(0,8)\mathrm{O} ( 0 , 0 ) , \mathrm{A} ( 8 , 0 ) , \mathrm{B} ( 8 , 8 ) , \mathrm{C} ( 0 , 8 ) 을 꼭지점으로 하는 정사각형 OABC\mathrm{O} ABC와 한 변의 길이가 88이고 네 변이 좌표축과 평행한 정사각형 PQRS\mathrm{P} QRS가 있다. 점 P\mathrm{P}가 점 (−1,−6)( - 1 , - 6 )에서 출발하여 포물선 y=−x2+5xy = - x ^{2} + 5 x 를 따라 움직이도록 정사각형 PQRS\mathrm{P} QRS를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 OABC\mathrm{O} ABC가 겹치는 부분의 넓이의 최대값을 qp\displaystyle \frac{q}{p}라 할 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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527

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해설

P(x,−x2+5x)\mathrm{P} ( x , - x ^{2} + 5 x )라면 0≤x≤50 \leq x \leq 5일 때 겹치는 부분의 넓이 S(x)S ( x )는 S(x)=x(−x2+5x)S ( x ) = x ( - x ^{2} + 5 x ) =−x3+5x2= - x ^{3} + 5 x ^{2} S′(x)=−3x2+10x=−3x(x−103)\displaystyle S' ( x ) = - 3 x ^{2} + 10 x = - 3 x \left( x - \frac{10}{3} \right) 따라서, x=103\displaystyle x = \frac{10}{3}일 때 S(x)S ( x )는 최대값을 갖는다. S(103)=−100027+5009=50027\displaystyle S \left( \frac{10}{3} \right) = - \frac{1000}{27} + \frac{500}{9} = \frac{500}{27} ∴p=27,q=500,p+q=527\therefore p = 27 , q = 500 , p + q = 527

태그

#최대최소#평행이동

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