대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

겹치는 정사각형 넓이

문제

nn이 33 이상의 자연수일 때, 네 점 (n,0)( n , 0 ), (3n2,0)\displaystyle \left( \frac{3 n}{2} , 0 \right), (3n2,n2)\displaystyle \left( \frac{3 n}{2} , \frac{n}{2} \right), (n,n2)\displaystyle \left( n , \frac{n}{2} \right)을 꼭짓점으로 하는 정사각형을 AnA _{n}이라 하자. 두 정사각형 AnA _{n}, An+1A _{n+1}이 겹치는 부분(어두운 부분)의 넓이를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=3101an\displaystyle \sum\limits _{n=3} ^{10} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [4점]

①11345\displaystyle \frac{113}{45}②11645\displaystyle \frac{116}{45}③11845\displaystyle \frac{118}{45}④12145\displaystyle \frac{121}{45}⑤12445\displaystyle \frac{124}{45}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 분수식이 들어 있는 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. an={3n2−(n+1)}×n2\displaystyle a _{n} = \left\{ \frac{3 n}{2} - ( n + 1 ) \right\} \times \frac{n}{2}=n−22×n2\displaystyle = \frac{n - 2}{2} \times \frac{n}{2} (n≥3n \geq 3) ∴ ∑n=3101an\displaystyle \sum\limits _{n = 3} ^{10} \frac{1}{a _{n}}=4∑n=3101(n−2)n\displaystyle = 4 \sum\limits _{n = 3} ^{10} \frac{1}{( n - 2 ) n} =2∑n=310(1n−2−1n)\displaystyle = 2 \sum\limits _{n = 3} ^{10} \left( \frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n} \right) =2{(11−13)+(12−14)+⋯\displaystyle = 2 \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \right. \cdots+(17−19)+(18−110)}\displaystyle \left. + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right) \right\} =2(1+12−19−110)\displaystyle = 2 \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) =11645\displaystyle = \frac{116}{45}

태그

#부분분수#시그마#도형

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수열의 합 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로