미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

겹친 원 도형 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 33인 두 원을 서로의 중심을 지나도록 그렸을 때, 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 F1F _{1}이라 하자. F1F _{1}의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 F1F _{1}과 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 F2F _{2}라 하자. F2F _{2}의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 F2F _{2}와 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 F3F _{3}이라 하자.

이와 같은 방법으로 계속하여 도형 FnF _{n}을 그려 나갈 때, FnF _{n}의 둘레의 길이를 lnl _{n}이라 하자. ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} l _{n}의 값은? [4점] ①2π(1+7)\displaystyle 2 \pi ( 1 + \sqrt{7} )②8π3(1+7)\displaystyle \frac{8 \pi}{3} ( 1 + \sqrt{7} )③4π3(2+7)\displaystyle \frac{4 \pi}{3} ( 2 + \sqrt{7} )④2π(2+7)\displaystyle 2 \pi ( 2 + \sqrt{7} )⑤5π3(2+7)\displaystyle \frac{5 \pi}{3} ( 2 + \sqrt{7} )

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

도형 F1F _{1}의 두 원의 중심을 연결하는 선분과 도형 F2F _{2}의 두 원의 중심을 연결하는 선분은 서로 다른 것을 수직이등분한다.

도형 F2F _{2}의 반지름의 길이를 xx라 하면 위 그림의 직각삼각형 O1O2H\mathrm{O} _{1} O _{2} H에서 (3−x)2=(32)2+(x2)2\displaystyle ( 3 - x ) ^{2} = \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{x}{2} \right) ^{2} 3x2−24x+27=03 x ^{2} - 24 x + 27 = 0 x2−8x+9=0x ^{2} - 8 x + 9 = 0 ∴ x=4−7\displaystyle x = 4 - \sqrt{7} (∵ x<3x < 3) 따라서 서로 닮음인 도형 F1F _{1}과 F2F _{2}의 닮음비는 4−73\displaystyle \frac{4 - \sqrt{7}}{3}이다.

위 그림에서 l1=l _{1} =2×(3×23π)=4π\displaystyle 2 \times \left( 3 \times \frac{2}{3} \pi \right) = 4 \pi이므로 수열 {ln}\left\{ l _{n} \right\}은 첫째항이 4π4 \pi이고 공비가 4−73\displaystyle \frac{4 - \sqrt{7}}{3}인 등비수열이다. ∴ ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} l _{n}=4π1−4−73\displaystyle = \frac{4 \pi}{1 - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}}=2π(1+7)\displaystyle = 2 \pi ( 1 + \sqrt{7} )

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로