공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

겹친 정사각형 수 배열 행렬

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형들을 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형이 만들어지도록 겹치게 그리고, 교점과 꼭지점에 자연수를 규칙적으로 적었다. 이때, 한 변의 길이가 $2$ 인 각 정사각형의 네 꼭지점에 적힌 자연수를 성분으로 하는 이차정사각행렬을 성분의 합이 작은 것부터 차례로 $A _{1}$ , $A _{2}$ , $A _{3}$ , $\cdots$ , $A _{n}$ , $\cdots$ 이라 하자. 예를 들면 $\displaystyle A _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle A _{2} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 9 & 13 \end{pmatrix}$ 이다. 행렬 $A _{10}$ 의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

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192

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해설

행렬 $A _{n}$ 의 $( 1 , 1 )$ 성분을 $a _{n}$ 이라고 하면 $a _{1} = 1 , a _{2} = 3 , a _{3} = 8 , a _{4} = 13 , a _{5} = 18 , \cdots$ $a _{n} = 5 n - 7 ( n \geq 2 )$ $\displaystyle A _{n} = \begin{pmatrix} 5 n - 7 & 5 n - 3 \\ 5 n - 1 & 5 n + 3 \end{pmatrix}$ $( n \geq 2 )$ 이므로 $\displaystyle A _{10} = \begin{pmatrix} 43 & 47 \\ 49 & 53 \end{pmatrix}$ $\therefore$ 각 성분의 합은 $192$

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