경우가 나뉜 점화식

(ⅰ) $a _{1} \leq a _{2}$일 때, $a _{3} = 2 a _{1} + a _{2} = 2$ ⋯ ㉠ 이므로 $a _{2} > 0$ ① $a _{1} \geq 0$일 때 $a _{2} \leq a _{3}$이므로 $a _{4} = 2 a _{2} + a _{3} = 2 a _{2} + 2$ $a _{3} \leq a _{4}$이므로 $a _{5} = 2 a _{3} + a _{4} = 2 a _{2} + 6$ $a _{4} \leq a _{5}$이므로 $a _{6} = 2 a _{4} + a _{5} = 6 a _{2} + 10$ 이때, $a _{6} = 19$이므로 $6 a _{2} + 10 = 19$ $\displaystyle a _{2} = \frac{3}{2}$ $\displaystyle a _{2} = \frac{3}{2}$을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 2 a _{1} + \frac{3}{2} = 2$ $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4}$ ② $a _{1} < 0$일 때 $a _{2} > a _{3}$이므로 $a _{4} = a _{2} + a _{3} = a _{2} + 2$ $a _{3} \leq a _{4}$이므로 $a _{5} = 2 a _{3} + a _{4} = a _{2} + 6$ $a _{4} \leq a _{5}$이므로 $a _{6} = 2 a _{4} + a _{5} = 3 a _{2} + 10$ 이때, $a _{6} = 19$이므로 $3 a _{2} + 10 = 19$ $a _{2} = 3$ $a _{2} = 3$을 ㉠에 대입하면 $2 a _{1} + 3 = 2$ $\displaystyle a _{1} = - \frac{1}{2}$ (ⅱ) $a _{1} > a _{2}$일 때 $a _{3} = a _{1} + a _{2} = 2$ ⋯ ㉡ 이므로 $a _{1} > 0$ $a _{2} \leq a _{3}$이므로 $a _{4} = 2 a _{2} + a _{3} = 2 a _{2} + 2$ ① $a _{2} \geq 0$일 때 $a _{3} \leq a _{4}$이므로 $a _{5} = 2 a _{3} + a _{4} = 2 a _{2} + 6$ $a _{4} \leq a _{5}$이므로 $a _{6} = 2 a _{4} + a _{5} = 6 a _{2} + 10$ 이때, $a _{6} = 19$이므로 $6 a _{2} + 10 = 19$ $\displaystyle a _{2} = \frac{3}{2}$ $\displaystyle a _{2} = \frac{3}{2}$을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle a _{1} + \frac{3}{2} = 2$ $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2}$ 이때, $a _{1} < a _{2}$이므로 주어진 조건을 만족시키는 $a _{1}$의 값은 존재하지 않는다. ② $a _{2} < 0$일 때 $a _{3} > a _{4}$이므로 $a _{5} = a _{3} + a _{4} = 2 a _{2} + 4$ $a _{4} \leq a _{5}$이므로 $a _{6} = 2 a _{4} + a _{5} = 6 a _{2} + 8$ 이때, $a _{6} = 19$이므로 $6 a _{2} + 8 = 19$ $\displaystyle a _{2} = \frac{11}{6}$ 이때, $a _{2} > 0$이므로 주어진 조건을 만족시키는 $a _{2}$와 $a _{1}$의 값은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4}$ 또는 $\displaystyle a _{1} = - \frac{1}{2}$ 따라서 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{1}{4} + \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{4}$ [다른 풀이] $a _{3} = 2$, $a _{6} = 19$ (ⅰ) $a _{3} \leq a _{4}$인 경우 $a _{5} = 4 + a _{4}$, $a _{6} = 3 a _{4} + 4$ ∴ $a _{4} = 5$ ① $a _{2} \leq a _{3}$인 경우 : $\displaystyle a _{2} = \frac{3}{2}$, $a _{3} = 2$, $a _{4} = 5$ - $a _{1} \leq a _{2}$일 때 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4}$ - $a _{1} > a _{2}$일 때 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2}$(조건을 만족하지 않는다.) ② $a _{2} > a _{3}$인 경우 : $a _{2} = 3$, $a _{3} = 2$, $a _{4} = 5$ - $a _{1} \leq a _{2}$일 때 $\displaystyle a _{1} = - \frac{1}{2}$ - $a _{1} > a _{2}$일 때 $a _{1} = - 1$(조건을 만족하지 않는다.) (ⅱ) $a _{3} > a _{4}$인 경우 $a _{5} = a _{4} + 2$, $a _{6} = 3 a _{4} + 2$ ∴ $\displaystyle a _{4} = \frac{13}{3}$(조건을 만족하지 않는다.) (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4}$ 또는 $\displaystyle a _{1} = - \frac{1}{2}$ 따라서 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{1}{4} + \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{4}$