격자점 개수의 합

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기 곡선 $\displaystyle y = \frac{6 ^{n}}{x}$ 위의 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수인 점의 개수는 $6 ^{n}$의 양의 약수의 개수와 같다. $6 ^{n} = 2 ^{n} \times 3 ^{n}$이므로 $a _{n} = \left( n + 1 \right) ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( n + 1 \right) ^{2}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( n ^{2} + 2 n + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + 2 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10$ $= 505$