격자점 개수 합

[출제의도] 무리함수의 그래프의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $\displaystyle y = \sqrt{x}$의 그래프에서 $x$의 값이 제곱수이면 $y$의 값은 정수가 된다.

함수 $\displaystyle y = \sqrt{x} + n$의 그래프와 직선 $x = n$과 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점 $( x , y )$의 개수를 $a _{n}$이라하고, $x = k$일 때 $\displaystyle k < y \leq \sqrt{k} + n$을 만족시키는 정수 $y$의 개수를 $g ( k )$라 하면 $\displaystyle a _{n} = ( n + 1 ) ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n} g ( k )$이고 $1 \leq k \leq 3$이면 $g ( k ) = 1$ $4 \leq k \leq 8$이면 $g ( k ) = 2$ $9 \leq k \leq 10$이면 $g ( k ) = 3$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( k + 1 ) ^{2} + 86$ $\displaystyle = \frac{11 \times 12 \times 23}{6} - 1 + 86 = 591$