격자점 개수 극한 빈칸

[출제의도] 수열의 합을 이용하여 수열의 극한을 구하는 과정을 증명한다. ${\mathrm{P}} _{n}$$( 2 n , 0 )$, ${\mathrm{Q}} _{n}$$( 0 , 4 n ^{2} )$이므로 직선 ${\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - 4 n ^{2}}{2 n - 0}$$\displaystyle = \frac{- 4 n ^{2}}{2 n}$$= \mathit{-} 2 n$이고 $y$절편은 $4 n ^{2}$이므로 직선 ${\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}$의 방정식은 $y = {\square {- 2 n}} \times x + 4 n ^{2}$ $x$좌표가 $k$($k$는 $2 n - 1$ 이하의 자연수)일 때 영역에 속하는 점의 $y$좌표는 $( k - 2 n ) ^{2}$부터 ${\square {- 2 n}} \times k + 4 n ^{2}$까지이므로 그 개수는 ${\square {- 2 n}} {\times} k + 4 n ^{2}$$- ( k - 2 n ) ^{2} + 1$$= {\square {- k ^{2} + 1}} + 2 nk$ $a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{2 n - 1} \left( {\square {- k ^{2} + 1}} + 2 nk \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{( 2 n - 1 ) \times 2 n \times ( 4 n - 1 )}{6} + ( 2 n - 1 )$$\displaystyle + 2 n \times \frac{( 2 n - 1 ) \times 2 n}{2}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{n \left( 2 n - 1 \right) \left( 4 n - 1 \right)}{3} + \left( 2 n - 1 \right) + 2 n ^{2} \left( 2 n - 1 \right)$ $\displaystyle = \left( 2 n - 1 \right) \left\{ 2 n ^{2} - \frac{n \left( 4 n - 1 \right)}{3} + 1 \right\}$ $\displaystyle = \left( 2 n - 1 \right) \left( \frac{2}{3} n ^{2} + \frac{n}{3} + 1 \right)$ 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n ^{3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( 2 n - 1 \right) \left( \frac{2}{3} n ^{2} + \frac{n}{3} + 1 \right)}{n ^{3}}$$\displaystyle = {\square {\frac{4}{3}}}$ $f ( n ) = \mathit{-} 2 n$, $g ( k ) = \mathit{-} k ^{2} + 1$, $\displaystyle p = \frac{4}{3}$이고 $f ( 3 ) = \mathit{-} 6$, $g ( 4 ) = \mathit{-} 15$ 따라서 $p \times f ( 3 ) \times g ( 4 )$$\displaystyle = \frac{4}{3} \times ( - 6 ) \times ( - 15 )$$= 120$