미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

격자점 개수 극한

문제

그림과 같이 11보다 큰 자연수 nn에 대하여 두 원 O1:(x−n)2+y2=n2O _{1} : \left( x - n \right) ^{2} + y ^{2} = n ^{2} O2:x2+y2=2(n−1)2O _{2} : x ^{2} + y ^{2} = 2 \left( n - 1 \right) ^{2} 과 점 An(2n,0)\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( 2 \mathit{n} , 0 \right)이 있다. 원 O1O _{1}과 직선 x=nx = n이 만나는 두 점을 각각 Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}, Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}, 원 O2O _{2}와 직선 x=−n+1x = \mathit{-} n + 1이 만나는 두 점을 각각 Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}}, En\mathrm{E} _{\mathit{n}}이라 하자. 오각형 AnBnDnEnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 xx좌표와 yy좌표가 모두 정수인 점들의 개수를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞(5n−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{5} n - \sqrt{a _{n}} \right)}의 값은? [4점]

x=−n+1x = - n + 1 ⋯\cdots ⋮\vdots ⋮\vdots

x=−n+1x = \mathit{-} n + 1

①55\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}②255\displaystyle \frac{2 \sqrt{5}}{5}③355\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{5}④455\displaystyle \frac{4 \sqrt{5}}{5}⑤5\displaystyle \sqrt{5}

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①

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해설

각 점의 좌표는 그림과 같다.

x=−n+1x = \mathit{-} n + 1 ⋯\cdots ⋮\vdots ⋮\vdots

An(2n,0)\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{2} n , 0 \right), Bn(n,n)\mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , n \right), Cn(n,−n)\mathrm{C} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , - n \right), Dn(−n+1,n−1)\mathrm{D} _{\mathit{n}} \left( \mathit{-} n + 1 , n - 1 \right), En(−n+1,−n+1)\mathrm{E} _{\mathit{n}} \left( \mathit{-} n + 1 , - n + 1 \right), Fn(n−1,−n+1)\mathrm{F} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} - 1 , - n + 1 \right), Gn(n−1,n−1)\mathrm{G} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} - 1 , n - 1 \right) 오각형 AnBnDnEnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}에서 삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 xx좌표와 yy좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 1+3+⋯+(2n+1)=(n+1)21 + 3 + \cdots + \left( 2 n + 1 \right) = \left( n + 1 \right) ^{2} 변 DnEn\mathrm{D} _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}} 위의 xx좌표와 yy좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 2n−12 n - 1이므로 정사각형 EnFnGnDn\mathrm{E} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}의 둘레 및 내부에 있는 점중에서 xx좌표와 yy좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 (2n−1)2\left( 2 n - 1 \right) ^{2} an=(n+1)2+(2n−1)2=5n2−2n+2a _{n} = \left( n + 1 \right) ^{2} + \left( 2 n - 1 \right) ^{2} = 5 n ^{2} - 2 n + 2 lim⁡n→∞(5n−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{5} n - \sqrt{a _{n}} \right)}=lim⁡n→∞(5n−5n2−2n+2)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{5} n - \sqrt{5 n ^{2} - 2 n + 2} \right)} =lim⁡n→∞2n−25n+5n2−2n+2=55\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n - 2}{\sqrt{5} n + \sqrt{5 n ^{2} - 2 n + 2}}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

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#수열의 극한#격자점#원

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