격자점 개수 빈칸

[출제의도] 수열의 합의 성질을 이용하여 수열의 일반항을 구하는 과정을 증명한다. $n$$= 2$일 때, 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $( 2 , 1 )$, $( 3 , 1 )$이므로 $a _{2}$$= 2$ 따라서 ${\square {( \text{가} )}}$는 $2$이다.

$n \geq 3$일 때, $1 \leq k \leq n - 1$인 정수 $k$에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중 $y$좌표가 $k$인 점은 $( k ^{2} + 1 , k )$, $( k ^{2} + 2 , k )$, $\cdots$, $( n ^{2} - 1 , k )$ 이므로 이 점의 개수를 $b _{k}$라 하면 $b _{k} =$ $n ^{2} - 1 - k ^{2}$ 따라서 ${\square {( \text{나} )}}$는 $n ^{2} - 1$이다. $a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} b _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} {( n ^{2} - 1 - k ^{2} )}$ $\displaystyle = ( n - 1 ) ( n ^{2} - 1 ) - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} {k ^{2}}$ $\displaystyle = ( n - 1 ) ( n ^{2} - 1 ) - \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6}$ $\displaystyle = \frac{( n - 1 ) ( 4 n ^{2} + n - 6 )}{6}$ 따라서 ${\square {( \text{다} )}}$는 $\displaystyle \frac{( n - 1 ) ( 4 n ^{2} + n - 6 )}{6}$이다. 그러므로 $p = 2$, $f ( n ) = n ^{2} - 1$, $\displaystyle g ( n ) = \frac{( n - 1 ) ( 4 n ^{2} + n - 6 )}{6}$ 따라서 $p + f ( 4 ) + g ( 6 )$$= 2 + 15 + 120$ $= 137$