기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

격자 벡터 내적 보기

문제

그림은 한 변의 길이가 11인 정사각형 1212개를 붙여 만든 도형이다. 2020개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을 SS라 하자. 집합 SS의 두 원소 x⃗\vec{x}, y⃗\vec{y}에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. x⃗⋅y⃗=0\vec{x} \cdot \vec{y} = 0이면 ∣x⃗∣\left| \vec{x} \right|, ∣y⃗∣\left| \vec{y} \right|의 값은 모두 정수이다. ㄴ. ∣x⃗∣=5\displaystyle \left| \vec{x} \right| = \sqrt{5}, ∣y⃗∣=2\displaystyle \left| \vec{y} \right| = \sqrt{2}이면 x⃗⋅y⃗≠0\vec{x} \cdot \vec{y} \ne 0이다. ㄷ. x⃗⋅y⃗\vec{x} \cdot \vec{y}는 정수이다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. (반례) x⃗⋅y⃗=0\vec{x} \cdot \vec{y} = 0이지만 ∣x⃗∣=2\displaystyle \left| \vec{x} \right| = \sqrt{2}, ∣y⃗∣=2\displaystyle \left| \vec{y} \right| = \sqrt{2} 인 경우가 있다. (거짓) ㄴ. ∣x⃗∣=5\displaystyle \left| \vec{x} \right| = \sqrt{5}, ∣y⃗∣=2\displaystyle \left| \vec{y} \right| = \sqrt{2}이면 두 벡터 x⃗\vec{x}, y⃗\vec{y}는 수직이 될 수 없다. ∴ x⃗⋅y⃗≠0\vec{x} \cdot \vec{y} \ne 0 (참) ㄷ. 주어진 도형을 좌표평면에서 생각하면 x⃗\vec{x}, y⃗\vec{y}의 성분은 모두 정수이므로 x⃗⋅y⃗\vec{x} \cdot \vec{y}는 항상 정수이다. (참)

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