계단함수 그래프가 만드는 영역의 넓이

$\displaystyle \frac{1}{2} < x < 1$일 때, $\displaystyle 1 < \frac{1}{x} < 2$이므로 $\displaystyle \left[ \frac{1}{x} \right] = 1$ ∴ $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{3}$ $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{n + 1} < x \leq \frac{1}{n}$일 때, $\displaystyle n \leq \frac{1}{x} < n + 1$이므로 $\displaystyle \left[ \frac{1}{x} \right] = n$ ∴ $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{n + 2}$ 따라서 구간 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , 1 \right)$에서 $R ( g )$가 차지하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}$ 구간 $\displaystyle \left( \frac{1}{n + 1} , \frac{1}{n} \right]$에서 $R ( g )$가 차지하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \times \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$

따라서 $R ( g )$의 넓이는 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left\{ \frac{1}{n ( n + 1 )} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{4}$