미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)계단 선분 길이 급수광고 영역 (상세 상단)문제x0=1x _{0} = 1x0=1, x1=34\displaystyle x _{1} = \frac{3}{4}x1=43, x2=58\displaystyle x _{2} = \frac{5}{8}x2=85, ⋯\cdots⋯, xn=2n+12n+1\displaystyle x _{n} = \frac{2 ^{n} + 1}{2 ^{n + 1}}xn=2n+12n+1, ⋯\cdots⋯에 대하여 좌표평면 위에 점 P0(1,1)\mathrm{P} _{0} ( 1 , 1 )P0(1,1)과 Pn(xn,xn2)\mathrm{P} _{\mathit{n}} ( \mathit{x} _{n} , x _{n} ^{2} )Pn(xn,xn2), Qn(xn−1,xn2)\mathrm{Q} _{\mathit{n}} ( \mathit{x} _{n - 1} , x _{n} ^{2} )Qn(xn−1,xn2) (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdotsn=1,2,3,⋯)을 그림과 같이 나타낸다. 무한급수 P0Q1‾+Q1P1‾+P1Q2‾+Q2P2‾+P2Q3‾+⋯\displaystyle \overline{\mathrm{P} _{0} Q _{1}} + \overline{\mathrm{Q} _{1} P _{1}} + \overline{\mathrm{P} _{1} Q _{2}} + \overline{\mathrm{Q} _{2} P _{2}} + \overline{\mathrm{P} _{2} Q _{3}} + \cdotsP0Q1+Q1P1+P1Q2+Q2P2+P2Q3+⋯ 의 합을 SSS라 할 때 100S100 S100S의 값을 구하시오. [4점] 정답 보기125자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설S=∑n=0∞PnQn+1‾+∑n=1∞QnPn‾\displaystyle S = \sum\limits _{n = 0} ^{\infty} \overline{{ P} \mathit{_{n}} { Q} _{n + 1}} + \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \overline{{ Q} _{n} {{\mathrm{P}}} _{n}}S=n=0∑∞PnQn+1+n=1∑∞QnPn이고, xn=12+12n+1\displaystyle x _{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{n + 1}}xn=21+2n+11이므로 ∑n=0∞PnQn+1‾=∑n=0∞(xn2−xn+12)\displaystyle \sum\limits _{n = 0} ^{\infty} \overline{{ P} _{n} { Q} _{n + 1}} = \sum\limits _{n = 0} ^{\infty} ( x _{n} ^{2} - x _{n + 1} ^{2} )n=0∑∞PnQn+1=n=0∑∞(xn2−xn+12) =∑n=0∞(12n+2+34n+2)\displaystyle = \sum\limits _{n = 0} ^{\infty} \left( \frac{1}{2 ^{n + 2}} + \frac{3}{4 ^{n + 2}} \right)=n=0∑∞(2n+21+4n+23) =141−12+3161−14=12+14=34\displaystyle = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{\frac{3}{16}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}=1−2141+1−41163=21+41=43 ∑n=1∞QnPn‾=∑n=1∞(xn−1−xn)=∑n=1∞12n+1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \overline{{ Q} _{n} { P} _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( x _{n - 1} - x _{n} ) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{2 ^{n + 1}}n=1∑∞QnPn=n=1∑∞(xn−1−xn)=n=1∑∞2n+11=141−12=12\displaystyle = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}=1−2141=21 따라서, S=34+12=54\displaystyle S = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}S=43+21=45이므로 100S=125100 S = 125100S=125 <다른 풀이> limn→∞xn=limn→∞2n+12n+1=12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} x _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 ^{n} + 1}{2 ^{n + 1}} = \frac{1}{2}n→∞limxn=n→∞lim2n+12n+1=21이므로 점 Pn{ P} _{n}Pn과 점 Qn{ Q} _{n}Qn은 점(12,14)\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{4} \right)(21,41)에 한없이 가까워진다. An(xn,0),{ A} _{n} ( x _{n} , 0 ) ,An(xn,0),Bn(0,xn2){ B} _{n} ( 0 , x _{n} ^{2} )Bn(0,xn2)이라 하면 ∑n=0∞PnQn+1‾\displaystyle \sum\limits _{n = 0} ^{\infty} \overline{{ P} _{n} { Q} _{n + 1}}n=0∑∞PnQn+1 =(1−Q1A0‾)+(Q1A0‾−Q2A1‾)\displaystyle = ( 1 - \overline{\mathrm{Q} \mathit{_{1}} \mathrm{A} \mathit{_{0}}} ) + ( \overline{\mathrm{Q} \mathit{_{1}} \mathrm{A} \mathit{_{0}}} - \overline{\mathrm{Q} \mathit{_{2}} \mathrm{A} \mathit{_{1}}} )=(1−Q1A0)+(Q1A0−Q2A1)+⋯+ \cdots+⋯ =1−limn→∞QnAn−1‾\displaystyle = 1 - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \overline{{ Q} _{n} { A} _{n - 1}}=1−n→∞limQnAn−1=1−limn→∞xn2\displaystyle = 1 - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} x _{n} ^{2}=1−n→∞limxn2=1−14=34\displaystyle = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}=1−41=43 ∑n=1∞QnPn‾\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \overline{{ Q} _{n} { P} _{n}}n=1∑∞QnPn =(1−B1P1‾)+(B1P1‾−B2P2‾)+⋯\displaystyle = ( 1 - \overline{\mathrm{B} \mathit{_{1}} \mathrm{P} \mathit{_{1}}} ) + ( \overline{\mathrm{B} \mathit{_{1}} \mathrm{P} \mathit{_{1}}} - \overline{\mathrm{B} \mathit{_{2}} \mathrm{P} \mathit{_{2}}} ) + \cdots=(1−B1P1)+(B1P1−B2P2)+⋯ =1−limn→∞BnPn‾\displaystyle = 1 - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \overline{{ B} _{n} { P} _{n}}=1−n→∞limBnPn=1−limn→∞xn=1−12=12\displaystyle = 1 - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} x _{n} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}=1−n→∞limxn=1−21=21 따라서, S=34+12=54\displaystyle S = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}S=43+21=45이므로 100S=125100 S = 125100S=125태그#무한급수#좌표비슷한 문제 더 보기미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로
