대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

계차와 등비수열 보기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 bn=an+1−anb _{n} = a _{n + 1} - a _{n}이라 할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? ( 단, an⋅bn≠0a _{n} \cdot b _{n} \ne 0 ) [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 등비수열이면 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}도 등비수열이다. ㄴ. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 등비수열이면 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}도 등비수열이다. ㄷ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 등비수열이면 수열 {an⋅bn}\left\{ a _{n} \cdot b _{n} \right\}도 등비수열이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. {an}\left\{ a _{n} \right\}이 첫째항이 aa, 공비가 rr인 등비수열이면 an=arn−1a _{n} = a r ^{n - 1}이고, bn=an+1−an=arn−arn−1b _{n} = a _{n + 1} - a _{n} = a r ^{n} - a r ^{n - 1} =a(r−1)rn−1= a ( r - 1 ) r ^{n - 1}이다. 따라서, {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 a(r−1)a ( r - 1 ), 공비가 rr인 등비수열이다. ∴ 참 ㄴ. (반례) {bnb _{n}}이 첫째항이 11, 공비가 22인 등비수열일 때, {ana _{n}}의 첫째항이 22이면 {ana _{n}}은 등비수열이 아니다. {ana _{n}} : 22, 33, 55, 99, 1717, … \ / \ / \ / \ / {bnb _{n}} : 11, 22, 44, 88, … ∴ 거짓 ㄷ. {ana _{n}}이 첫째항이 aa, 공비가 rr인 등비수열이면 an=arn−1a _{n} = a r ^{n - 1}이고, {bnb _{n}}은 첫째항이 a(r−1)a ( r - 1 ), 공비가 rr인 등비수열이므로, {an⋅bna _{n} \cdot b _{n}}은 첫째항이 a2(r−1)a ^{2} ( r - 1 ), 공비가 r2r ^{2}인 등비수열이다. ∴ 참

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