계차수열이 자기 자신

$a _{n} = b _{n}$이므로 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$라 하면, $\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} b _{k} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k} = 1 + S _{n-1}$ $a _{n} = 1 + S _{n-1} \cdots ( 1 )$ (1)에 $n \leftarrow n + 1$을 대입하면, $a _{n+1} = 1 + S _{n} \cdots ( 2 )$ (2)-(1)하면 $a _{n+1} - a _{n} = S _{n} - S _{n-1} = a _{n}$ $a _{n+1} = 2 a _{n}$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 공비가 $2$인 등비수열이다. $a _{n} = 2 ^{n-1}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{6} 2 ^{k-1} = \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 63$