대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

계차수열과 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 계차수열을 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이라 하자. a1=1a _{1} = 1, bn=(−1)n+1b _{n} = ( - 1 ) ^{n+1} (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots) 이 성립할 때, ∑k=1mak=100\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{m} a _{k} = 100을 만족시키는 자연수 mm의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. an=a1+∑k=1n−1(−1)k+1\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( - 1 ) ^{k+1}=1+1−(−1)n−11−(−1)\displaystyle = 1 + \frac{1 - ( - 1 ) ^{n-1}}{1 - ( - 1 )} =32+12(−1)n\displaystyle = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} ( - 1 ) ^{n} 따라서 a2k−1=1a _{2 k - 1} = 1, a2k=2a _{2 k} = 2 (k=1k = 1, 2,2 , 33, ⋯\cdots)이므로 a2k−1+a2k=3a _{2 k - 1} + a _{2 k} = 3 이때, 100=3×33+1100 = 3 \times 33 + 1=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a65+a66)+a67= ( a _{1} + a _{2} ) + ( a _{3} + a _{4} ) + \cdots + ( a _{65} + a _{66} ) + a _{67}=∑k=167ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{67} a _{k} 이므로 구하는 자연수 mm의 값은 6767이다.

태그

#계차수열#수열의 합

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