대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

계차수열 성질 보기

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}을 bn=an+1−anb _{n} = a _{n+1} - a _{n} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 이라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] ㄱ. an=bna _{n} = b _{n}(n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 이면 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등비수열이다. ㄴ. 수열 {2bn}\left\{ 2 ^{b _{n}} \right\}이 등비수열이면 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등차수열이다. ㄷ. 수열 {log⁡2an}\left\{ \log _{2} a _{n} \right\}이 공차가 00이 아닌 등차수열이면 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 등비수열이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ) an=bna _{n} = b _{n}이므로 주어진 식에서 an=an+1−ana _{n} = a _{n+1} - a _{n} →∴an+1=2an→\rightarrow \therefore a _{n+1} = 2 a _{n} \rightarrow등비수열 ㄴ) 2bn→2 ^{b_{n}} \rightarrow등비수열 →\rightarrow bn=b _{n} =등차수열 →\rightarrow an=a _{n} =nn에대한 2차식 ≠\neq 등차수열 ㄷ) log⁡2an=pn+q\log _{2} a _{n} = pn + q(단, p,qp , q는 상수) →an=2pn+q\rightarrow a _{n} = 2 ^{pn+q} →\rightarrow bn=an+1−an=2pn+p+q−2pn+q=2pn+q(2p−1)b _{n} = a _{n+1} - a _{n} = 2 ^{pn+p+q} - 2 ^{pn+q} = 2 ^{pn+q} ( 2 ^{p} - 1 ) →\rightarrow∴bn\therefore b _{n}은 공비가 2p2 ^{p}인 등비수열이다. ∴\therefore ㄱ 과 ㄷ이 옳다.

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