계차수열

[출제의도] 등차수열과 계차수열을 이해하고, 항의 값을 구한다. $b _{n} = a _{n + 1} - a _{n}$이라 하면 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 계차수열이고, 조건 (나)에서 $\left\{ b _{n} \right\}$은 등차수열이다. 조건 (가)에서 $b _{1} = a _{2} - a _{1} = 2$ $b _{2} = a _{3} - a _{2} = 4$ 이므로 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $2$이고 공차가 $2$인 등차수열이다. ∴ $b _{n} = 2 n$ 따라서 $a _{n}$은 다음과 같다. $\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} b _{k}$ $\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 2 k$ $\displaystyle = 1 + 2 \times \frac{( n - 1 ) n}{2}$ $= n ^{2} - n + 1$ $( n \geq 2 )$ ∴ $a _{8} = 57$ [다른 풀이] $a _{n + 1} - a _{n}$은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 계차수열의 제$n$항이다. 주어진 조건에서 $a _{2} - a _{1} = 2$ $a _{3} - a _{2} = 4$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 계차수열은 공차가 $2$인 등차수열이므로 이를 이용하면 $a _{4} - a _{3} = 6$에서 $a _{4} = 13$ $a _{5} - a _{4} = 8$에서 $a _{5} = 21$ $a _{6} - a _{5} = 10$에서 $a _{6} = 31$ $a _{7} - a _{6} = 12$에서 $a _{7} = 43$ $a _{8} - a _{7} = 14$에서 $a _{8} = 57$