계차 점화식 오류 찾기

다음은 어느 포털 사이트에 게시된 질문과 답변이다.

$a _{20}$의 값을 구하는 데 어디가 틀렸을까요? 저는 고등학교 2학년 학생입니다. 궁금한 것이 있어 글을 올립니다. 먼저 [문제]와 저의 [풀이]를 보시고 [질문]에 답해 주세요.

[문제] 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 $a _{1} = 1$이고, $a _{n} = a _{n-1} + 2 n - 1$($n \geq 2$) 을 만족시킬 때, $a _{20}$의 값을 구하시오.

[풀이] $n \geq 2$일 때, $\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 2 k - 1 )$ $\therefore a _{20} = 362$

[질문] 저는 잘 푼 것 같은데 정답이 $362$가 아니라고 합니다. 제가 어디가 틀렸을까요? 틀린 부분과 정답을 알려주세요. 학생의 [풀이]에서 (가) $\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1}$ $n \geq 2$일 때,

로 식을 수정하여 $a _{20}$의 값을 계산하면 $a _{20} =$ (나) 입니다.

좋은 질문입니다.

위의 답변이 옳을 때, (가)에 알맞은 식을 $f ( k )$, (나)에 알맞은 수를 $c$라 하자. 이때, $f ( 10 ) + c$의 값은? [4점] ①$415$②$417$③$419$④$421$⑤$423$