공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

귀류법 증명 나머지

문제

다음은 자연수 m,nm , n에 대하여 m2+n2m ^{2} + n ^{2}이 44의 배수이면 m,nm , n은 모두 짝수임을 증명한 것이다.

〈 증 명 〉
m,nm , n중 적어도 하나가 홀수라고 가정하면 i ) m=2a,n=2b−1m = 2 a , n = 2 b - 1(a,ba , b는 자연수)일 때, m2+n2m ^{2} + n ^{2}을 44로 나누었을 때의 나머지는 □(가){\square {( \text{가} )}}이다. ii) m=2a−1,n=2bm = 2 a - 1 , n = 2 b(a,ba , b는 자연수)일 때, m2+n2m ^{2} + n ^{2}을 44로 나누었을 때의 나머지는 □(나){\square {( \text{나} )}}이다. iii) m=2a−1,n=2b−1m = 2 a - 1 , n = 2 b - 1(a,ba , b는 자연수)일 때, m2+n2m ^{2} + n ^{2}을 44로 나누었을 때의 나머지는 □(다){\square {( \text{다} )}}이다. i), ii), iii)에 의하여 m2+n2m ^{2} + n ^{2}은 4의 배수가 아니다. 이것은 m2+n2m ^{2} + n ^{2} 이 4의 배수라는 조건에 모순이다. 따라서, 자연수 m,nm , n에 대하여 m2+n2m ^{2} + n ^{2}이 4의 배수이면 m,nm , n은 모두 짝수이다.

위의 <증명> 에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 )에 알맞은 것은? [3점] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) ①11 11 11②11 11 22③11 22 22④22 22 33⑤22 33 33

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②

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해설

[출제의도] 실수의 연산에 관한 성질을 이해한다. m,nm , n중 적어도 하나가 홀수라고 가정하면 i) m=2a,n=2b−1m = 2 a , n = 2 b - 1(a,b( a , b는 자연수)일 때, m2+n2=(2a)2+(2b−1)2=4(a2+b2−b)+1m ^{2} + n ^{2} = ( 2 a ) ^{2} + ( 2 b - 1 ) ^{2} = 4 ( a ^{2} + b ^{2} - b ) + 1 ∴m2+n2\therefore m ^{2} + n ^{2}을 44로 나누었을 때의 나머지는 (11)이다. ii) m=2a−1,n=2bm = 2 a - 1 , n = 2 b(a,b( a , b는 자연수)일 때, m2+n2=(2a−1)2+(2b)2=4(a2−a+b2)+1\begin{aligned} m ^{2} + n ^{2} = ( 2 a - 1 ) ^{2} + ( 2 b ) ^{2} = & 4 ( a ^{2} - a + b ^{2} ) + 1 \end{aligned} ∴m2+n2\therefore m ^{2} + n ^{2}을 44로 나누었을 때의 나머지는 (11) 이다. iii)m=2a−1,n=2b−1m = 2 a - 1 , n = 2 b - 1(a,b( a , b는 자연수)일 때, m2+n2=(2a−1)2+(2b−1)2=4(a2−a+b2−b)+2\begin{aligned} m ^{2} + n ^{2} = & ( 2 a - 1 ) ^{2} + ( 2 b - 1 ) ^{2} = & 4 ( a ^{2} - a + b ^{2} - b ) + 2 \end{aligned} ∴m2+n2\therefore m ^{2} + n ^{2}을 44로 나누었을 때의 나머지는 (22)이다.

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