귀류법 증명 빈칸

$3 m ^{2} - n ^{2} = 1$을 만족하는 $m , n$이 정수인 해는 없다. <증명>귀류법을 쓰면 $m , n$이 정수이고 $3 m ^{2} = n ^{2} + 1$이므로 $n ^{2} + 1$은 $3$의 배수이다.$\cdots \cdots \text{①}$ 한편, 정수 $n$이 어떤 정수 $k$에 대하여 $n = 3 k$이면 $n ^{2} = ( 3 k ) ^{2} = 9 k ^{2} = 3 ( 3 k ^{2} )$ $n = 3 k + 1$이면 $n ^{2} = ( 3 k + 1 ) ^{2}$$= 9 k ^{2} + 6 k + 1$$= 3 ( 3 k ^{2} + 2 k ) + 1$ $n = 3 k + 2$이면 $n ^{2} = ( 3 k + 2 ) ^{2}$$= 9 k ^{2} + 12 k + 4$$= 3 ( 3 k ^{2} + 4 k + 1 ) + 1$ 이므로 $n ^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$이다. 따라서, $n ^{2} + 1$을 $3$으로 나눈 나머지는 $1$ 또는 $2$이다. $\cdots \cdots \text{ ②}$ 그러므로 ①, ②에 의하여 모순이다. 따라서, $3 m ^{2} - n ^{2} = 1$을 만족하는 $m , n$이 모두 정수인 해는 없다.