귀류법 정수근 증명

다음은 $a$, $b$, $c$가 정수일 때, $f ( x ) = ax ^{2} + bx + c$에 대하여 $f ( 0 )$, $f ( 1 )$이 홀수이면 방정식 $f ( x ) = 0$은 정수인 근을 갖지 않음을 증명한 것이다.

<증명> 방정식 $f ( x ) = 0$이 정수인 근 $\alpha$를 가진다고 가정하면 $f ( \alpha ) = 0$이다. (ⅰ) $\alpha = 2 n$($n$은 정수)일 때 $f ( \alpha ) = 2 ( 2 an ^{2} + bn ) +$(가)

위 등식에서 우변은 (나) 가 되어 모순이다. (ⅱ) $\alpha = 2 n + 1$($n$은 정수)일 때 $f ( \alpha ) = 2 ( 2 an ^{2} + 2 an + bn ) +$(다)

위 등식에서 우변은 (나) 가 되어 모순이다. 따라서 방정식 $f ( x ) = 0$은 정수인 근을 갖지 않는다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$f ( 1 )$ 짝수 $f ( 1 )$②$f ( 1 )$ 짝수 $f ( 0 )$③$f ( 0 )$ 짝수 $f ( 0 )$④$f ( 0 )$ 홀수 $f ( 0 )$⑤$f ( 0 )$ 홀수 $f ( 1 )$