대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

귀납적으로 정의된 수열의 합

문제

첫째항이 $1$ 인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} 2 a _{n} & \left( a _{n} < 7 \right) \\ \begin{aligned} \\ a _{n} - 7 \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left. \left( a _{n} \geq 7 \right. \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k}$ 의 값은? [3점] ① $30$ ② $32$ ③ $34$ ④ $36$ ⑤ $38$

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①

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해설

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 합을 구할 수 있는가? $a _{1}$ $= 1$ 이므로 $a _{2}$ $= 2$ $a _{2}$ $= 2$ 이므로 $a _{3}$ $= 4$ $a _{3}$ $= 4$ 이므로 $a _{4}$ $= 8$ $a _{4}$ $= 8$ 이므로 $a _{5}$ $= 1$ $a _{5}$ $= 1$ 이므로 $a _{6}$ $= 2$ $a _{6}$ $= 2$ 이므로 $a _{7}$ $= 4$ $a _{7}$ $= 4$ 이므로 $a _{8}$ $= 8$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} {a _{k}}$ $= 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 )$ $= 2 \times 15$ $= 30$

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