귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 귀납적으로 주어진 수열의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가? $a _{1} = 0$이므로 $a _{2}$$\displaystyle = a _{1} + \frac{1}{k + 1}$$\displaystyle = \frac{1}{k + 1}$ $a _{2} > 0$이므로 $a _{3}$$\displaystyle = a _{2} - \frac{1}{k}$$\displaystyle = \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k}$ $a _{3} < 0$이므로 $a _{4}$$\displaystyle = a _{3} + \frac{1}{k + 1}$$\displaystyle = \frac{2}{k + 1} - \frac{1}{k}$$\displaystyle = \frac{k - 1}{k \left( k + 1 \right)}$ 이때 $k$$= 1$이면 $a _{4}$$= 0$이므로 $n$$=$$3 m - 2$($m$은 자연수)일 때 $a _{n}$$= 0$이다. 즉, $a _{22}$$= 0$이므로 $k$$= 1$은 조건을 만족시킨다. 한편 $k > 1$이면 $a _{4} > 0$이므로 $a _{5}$$\displaystyle = a _{4} - \frac{1}{k}$$\displaystyle = \frac{2}{k + 1} - \frac{2}{k}$ $a _{5} < 0$이므로 $a _{6}$$\displaystyle = a _{5} + \frac{1}{k + 1}$$\displaystyle = \frac{3}{k + 1} - \frac{2}{k}$$\displaystyle = \frac{k - 2}{k \left( k + 1 \right)}$ 이때 $k$$= 2$이면 $a _{6}$$= 0$이므로 $n$$= 5 m - 4$($m$은 자연수)일 때 $a _{n}$$= 0$이다. 즉, $a _{22}$$\ne 0$이므로 $k$$= 2$는 조건을 만족시키지 않는다. 한편 $k > 2$이면 $a _{6} > 0$이므로 $a _{7}$$\displaystyle = a _{6} - \frac{1}{k}$$\displaystyle = \frac{3}{k + 1} - \frac{3}{k}$ $a _{7} < 0$이므로 $a _{8}$$\displaystyle = \frac{4}{k + 1} - \frac{3}{k}$$\displaystyle = \frac{k - 3}{k \left( k + 1 \right)}$ 마찬가지 방법으로 계속하면 $k$$= 3$이면 $a _{8}$$= 0$이고 이때 $a _{22}$$= 0$이다. $k$$= 4$이면 $a _{10}$$= \mathit{0}$이고 이때 $a _{22}$$\ne 0$이다. $5 \leq k \leq 9$이면 $a _{22}$$\ne 0$이다. $k$$= 10$이면 $a _{22}$$= 0$이다. $k \geq 11$이면 $a _{22}$$\ne 0$이다. 따라서 조건을 만족시키는 모든 $k$의 값은 $1 , 3 , 10$ 이므로 구하는 모든 $k$의 값의 합은 $1 + 3 + 10 = 14$