귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열을 해석하여 수열의 첫째항을 추론한다. $\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} - 2 a _{n} & & \left( a _{n} < 0 \right) \\ a _{n} - 2 & & \left( a _{n} \geq 0 \right) \end{cases}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이고 $1 < a _{1} < 2$에서 $a _{1} {\geq} 0$이므로 $a _{2}$$= a _{1} - 2$$< 0$ $a _{3}$$= \mathit{-} 2 a _{2}$$= \mathit{-} 2 \left( a _{1} - 2 \right)$$> 0$ $a _{4}$$= a _{3} - 2$$= \mathit{-} 2 \left( a _{1} - 2 \right) - 2$$= \mathit{-} 2 \left( a _{1} - 1 \right)$$< 0$ $a _{5}$$= \mathit{-} 2 a _{4}$$= 4 \left( a _{1} - 1 \right)$$> 0$ $a _{6}$$= a _{5} - 2$$= 4 \left( a _{1} - 1 \right) - 2$$= 4 a _{1} - 6$ 이때 ㉠에서 $a _{6} < 0$이면 $a _{7}$$= \mathit{-} 2 a _{6}$$> 0$이므로 $a _{7} = \mathit{-} 1 \leq 0$에서 $a _{6} {\geq} 0$이다. $a _{7}$$= a _{6} - 2$$= \left( 4 a _{1} - 6 \right) - 2$$= 4 a _{1} - 8$$= \mathit{-} 1$ $\displaystyle a _{1} = \frac{7}{4}$ 따라서 $40 {\times} a _{1}$$\displaystyle = 40 \times \frac{7}{4}$$= 70$