대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

귀납적으로 정의된 수열

문제

공차가 $0$ 이 아닌 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 있다. 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$ 은 $b _{1} = a _{1}$ 이고, $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} b _{n - 1} + a _{n} \left( n \text{이} 3 \text{의} \text{배수가} \text{아닌경우} \right) \\ b _{n - 1} - a _{n} \left( n \text{이} 3 \text{의} \text{배수인경우} \right) \end{cases}$ 이다. $b _{10} = a _{10}$ 일 때, $\displaystyle \frac{b _{8}}{b _{10}} = \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

$b _{1} = a _{1}$ $b _{2} = b _{1} + a _{2} = a _{1} + a _{2}$ $b _{3} = b _{2} - a _{3} = a _{1} + a _{2} - a _{3}$ $b _{4} = b _{3} + a _{4} = a _{1} + a _{2} - a _{3} + a _{4}$ $b _{5} = b _{4} + a _{5} = a _{1} + a _{2} - a _{3} + a _{4} + a _{5}$ $b _{6} = b _{5} - a _{6} = a _{1} + a _{2} - a _{3} + a _{4} + a _{5} - a _{6}$ ⁝ $b _{10} = a _{1} + a _{2} - a _{3} + a _{4} + a _{5} - a _{6} + a _{7} + a _{8} - a _{9} + a _{10} = a _{10}$ $a _{2} - a _{3} = a _{5} - a _{6} = a _{8} - a _{9} = - d$ 이므로 $b _{10} - a _{10} = ( a _{1} - d ) + ( a _{1} + 2 d ) + ( a _{1} + 5 d ) = 0$ $a _{1} = - 2 d$ $a _{n} = - 2 d + ( n - 1 ) d = d ( n - 3 )$ $b _{8} = ( a _{1} - d ) + ( a _{1} + 2 d ) + a _{7} + a _{8} = 6 d$ $b _{10} = ( a _{1} - d ) + ( a _{1} + 2 d ) + ( a _{1} + 5 d ) + a _{10} = 7 d$ $\displaystyle \therefore \frac{b _{8}}{b _{10}} = \frac{6}{7}$

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