귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기 조건 (가)에서 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} < 1$이면 $a _{n + 1} = 2 ^{n - 2} > 0$이고 $a _{n} \geq 1$이면 $a _{n + 1} = \log _{2} a _{n} \geq 0$이므로 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} \geq 0$이다. 조건 (가), (나)에서 $a _{5}$, $a _{6}$의 값을 구하면 (ⅰ) $0 \leq a _{5} < 1$일 때 $a _{6} = 2 ^{5 - 2}$에서 $a _{5} + a _{6} \geq 8$이므로 $a _{5} + a _{6} = 1$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{5} \geq 1$일 때 $a _{6} = \log _{2} a _{5} \geq 0$에서 $a _{5} + a _{6} \geq 1$ $a _{5} + a _{6} = 1$을 만족시키려면 $a _{5} = 1$, $a _{6} = 0$ 그러므로 $a _{5} = 1$, $a _{6} = 0$ $a _{4}$의 값을 구하면 (ⅰ) $0 \leq a _{4} < 1$일 때 $a _{5} = 2 ^{4 - 2} = 4$이므로 $a _{5} = 1$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{4} \geq 1$일 때 $a _{5} = \log _{2} a _{4} = 1$이므로 $a _{4} = 2$ 그러므로 $a _{4} = 2$ $a _{1}$, $a _{2}$, $a _{3}$의 값을 구하면 (ⅰ) $0 \leq a _{3} < 1$일 때 $a _{4} = 2 ^{3 - 2} = 2$이므로 $0 \leq a _{3} < 1$ (a) $0 \leq a _{2} < 1$일 때 $a _{3} = 2 ^{2 - 2} = 1$이므로 $0 \leq a _{3} < 1$을 만족시키지 않는다. (b) $a _{2} \geq 1$일 때 $a _{3} = \log _{2} a _{2}$에서 $1 \leq a _{2} < 2$ $a _{1} < 1$이면 $\displaystyle a _{2} = 2 ^{1 - 2} = \frac{1}{2}$이므로 $1 \leq a _{2} < 2$를 만족시키지 않는다. $a _{1} \geq 1$이면 $a _{2} = \log _{2} a _{1}$에서 $2 \leq a _{1} < 4$ (ⅱ) $a _{3} \geq 1$일 때 $a _{4} = \log _{2} a _{3}$에서 $a _{3} = 2 ^{2} = 4$ (a) $0 \leq a _{2} < 1$일 때 $a _{3} = 2 ^{2 - 2} = 1$이므로 $a _{3} = 4$를 만족시키지 않는다. (b) $a _{2} \geq 1$일 때 $a _{3} = \log _{2} a _{2}$에서 $a _{2} = 2 ^{4} = 16$ $a _{1} < 1$이면 $\displaystyle a _{2} = 2 ^{1 - 2} = \frac{1}{2}$이므로 $a _{2} = 16$을 만족시키지 않는다. $a _{1} \geq 1$이면 $a _{2} = \log _{2} a _{1}$에서 $a _{1} = 2 ^{16}$ 따라서 $a _{1}$의 값은 $2 \leq a _{1} < 4$ 또는 $a _{1} = 2 ^{16}$이므로 $M = 2 ^{16}$, $m = 2$이고 $\displaystyle \log _{2} \frac{M}{m} = \log _{2} 2 ^{15} = 15$