귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 항의 값을 추론한다. $a _{5} + a _{4}$가 홀수이면 $a _{6}$이 홀수이므로 $a _{6} = 34$에 모순이다. 따라서 $a _{5} + a _{4}$는 짝수이고 $a _{4}$, $a _{5}$는 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. $a _{4}$, $a _{5}$가 모두 짝수이면 $a _{3}$도 짝수이고 마찬가지로 $a _{2}$, $a _{1}$도 모두 짝수이다. 이는 $a _{1} = 1$에 모순이므로 $a _{4}$, $a _{5}$는 모두 홀수이다. 따라서 $a _{1}$, $a _{4}$는 모두 홀수이므로 가능한 $a _{2}$, $a _{3}$의 값은 다음과 같다. (ⅰ) $a _{2}$, $a _{3}$이 모두 홀수인 경우 $a _{2} = 2 l - 1$($l$은 자연수)라 하자. $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{2} \left( a _{2} + a _{1} \right) = l$ $\displaystyle a _{4} = \frac{1}{2} \left( a _{3} + a _{2} \right) = \frac{3}{2} l - \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{5} = \frac{1}{2} \left( a _{4} + a _{3} \right) = \frac{5}{4} l - \frac{1}{4}$ $\displaystyle a _{6} = \frac{1}{2} \left( a _{5} + a _{4} \right) = \frac{11}{8} l - \frac{3}{8} = 34$ 이므로 $l = 25$이다. 따라서 $a _{2} = 2 \times 25 - 1 = 49$ (ⅱ) $a _{2}$는 짝수, $a _{3}$은 홀수인 경우 $a _{2} = 2 m$($m$은 자연수)라 하자. $a _{3} = a _{2} + a _{1} = 2 m + 1$ $a _{4} = a _{3} + a _{2} = 4 m + 1$ $\displaystyle a _{5} = \frac{1}{2} \left( a _{4} + a _{3} \right) = 3 m + 1$ $\displaystyle a _{6} = \frac{1}{2} \left( a _{5} + a _{4} \right) = \frac{7}{2} m + 1 = 34$ 이므로 $m$은 자연수가 아니다. (ⅲ) $a _{2}$는 홀수, $a _{3}$은 짝수인 경우 $a _{2} = 2 n - 1$($n$은 자연수)라 하자. $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{2} \left( a _{2} + a _{1} \right) = n$ $a _{4} = a _{3} + a _{2} = 3 n - 1$ $a _{5} = a _{4} + a _{3} = 4 n - 1$ $\displaystyle a _{6} = \frac{1}{2} \left( a _{5} + a _{4} \right) = \frac{7}{2} n - 1 = 34$ 이므로 $n = 10$이다. 따라서 $a _{2} = 2 \times 10 - 1$$= 19$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 모든 $a _{2}$의 값의 합은 $49 + 19 = 68$