귀납적 수열의 합

$a _{1} = 3$ $a _{2} = 4 a _{1} = 12$ $\displaystyle a _{3} = a _{2} - \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$ $\displaystyle a _{4} = a _{3} - \frac{3}{2} = 9$ $a _{5} = 4 a _{4} = 36$ $\displaystyle a _{6} = a _{5} - \frac{3}{2} = \frac{69}{2}$ $\vdots$ $a _{5} = 36 \geq 10$이고 $a _{n}$이 $10$보다 작아질 때까지 $\displaystyle \frac{3}{2}$씩 감소하므로 $a _{5 + m} \geq 10$을 만족하는 동안 $\displaystyle a _{5 + m} = 36 - \frac{3}{2} m$ 이 성립한다. 이 값이 $10$보다 작아지는 최소의 자연수 $m$의 값은 $\displaystyle 36 - \frac{3}{2} m < 10$, $\displaystyle \frac{3}{2} m > 26$ $\displaystyle m > \frac{52}{3} = 17.33 \cdots$ $\therefore$ $m = 18$ 따라서 $\displaystyle a _{23} = 36 - \frac{3}{2} \times 18 = 9$이므로 $a _{24} = 4 a _{23} = 36$ 즉, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $n \geq 5$일 때, $a _{5}$부터 $a _{23}$까지의 $19$개의 항 $36$, $\displaystyle \frac{69}{2}$,$\cdots$, $9$가 한 주기로 반복된다. $\displaystyle \therefore \sum\limits _{k = 1} ^{40} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{4} a _{k} + \sum\limits _{k = 5} ^{40} a _{k}$ $\displaystyle = \left( 3 + 12 + \frac{21}{2} + 9 \right) + \sum\limits _{k = 5} ^{23} a _{k} + \sum\limits _{k = 24} ^{40} a _{k}$ $\displaystyle = \frac{69}{2} + \sum\limits _{k = 5} ^{23} a _{k} + \sum\limits _{k = 5} ^{21} a _{k}$ 이때 $a _{5}$부터 $a _{23}$까지의 항의 개수는 $19$이고, 첫째항이 $36$, 마지막 항이 $9$인 등차수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 5} ^{23} a _{k} = \frac{19 \times \left( 36 + 9 \right)}{2} = \frac{855}{2}$ 또한 $a _{5}$부터 $a _{21}$까지의 항의 개수는 $17$이고, 첫째항이 $36$, 마지막 항이 $\displaystyle a _{21} = 36 - \frac{3}{2} \times 16 = 12$인 등차수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 5} ^{21} a _{k} = \frac{17 \times \left( 36 + 12 \right)}{2} = 408$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{40} a _{k}$$\displaystyle = \frac{69}{2} + \frac{855}{2} + 408$ $= 462 + 408$ $= 870$