대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납적 수열 합

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 을 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle a _{n+1} = \frac{1}{1 - a _{n}}$ ( $n = 1$ , $2$ , $3$ ,…) 이 때, $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{k} = 6$ 을 만족하는 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 관계식에서 각 항의 값을 유추할 수 있다. $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{1 - a _{1}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{1 - a _{2}} = \frac{1}{1 - 2} = - 1$ $\displaystyle a _{4} = \frac{1}{1 - a _{3}} = \frac{1}{1 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$ ⋮ 따라서, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $\displaystyle \frac{1}{2} , 2 , - 1$ 이 반복된다. $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} = \frac{1}{2} + 2 + ( - 1 ) = \frac{3}{2}$ 이고 $\displaystyle 6 = \frac{3}{2} \times 4$ 이므로 $k = 3 \times 4 = 12$

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